(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

En este módulo de 25 días, los estudiantes trabajan con figuras dos y tridimensionales. El volumen se introduce a los estudiantes a través de la exploración concreta de unidades cúbicas y culmina con el desarrollo de la fórmula de volumen para los prismas rectangulares correctos. La segunda mitad del módulo se convierte en extender a los estudiantes la comprensión de las figuras bidimensionales. Los estudiantes combinan el conocimiento previo del área con el conocimiento recién adquirido de la multiplicación por fracción para determinar el área de las figuras rectangulares con longitudes laterales fraccionadas. Luego participan en la construcción práctica de formas bidimensionales, desarrollando una base para clasificar las formas razonando sobre sus atributos. Este módulo llena un vacío entre el trabajo de Grado 4 S con figuras bidimensionales y el trabajo de grado 6 con volumen y área.

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English Description:
In this 25-day module, students work with two- and three-dimensional figures.  Volume is introduced to students through concrete exploration of cubic units and culminates with the development of the volume formula for right rectangular prisms.  The second half of the module turns to extending students’ understanding of two-dimensional figures.  Students combine prior knowledge of area with newly acquired knowledge of fraction multiplication to determine the area of rectangular figures with fractional side lengths.  They then engage in hands-on construction of two-dimensional shapes, developing a foundation for classifying the shapes by reasoning about their attributes.  This module fills a gap between Grade 4’s work with two-dimensional figures and Grade 6’s work with volume and area.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

En este módulo de 40 días, los estudiantes desarrollan un sistema de coordenadas para el primer cuadrante del plano de coordenadas y lo usan para resolver problemas. Los estudiantes usan la línea numérica familiar como una introducción a la idea de una coordenada, y construyen dos líneas numéricas perpendiculares para crear un sistema de coordenadas en el plano. Los estudiantes ven que, al igual que los puntos en la línea se pueden ubicar por su distancia desde 0, el sistema de coordenadas del plano se puede usar para localizar y trazar puntos utilizando dos coordenadas. Luego usan el sistema de coordenadas para explorar relaciones entre puntos, pares ordenados, patrones, líneas y, de manera más abstracta, las reglas que las generan. Este estudio culmina en una exploración del plano de coordenadas en aplicaciones del mundo real.

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English Description:
In this 40-day module, students develop a coordinate system for the first quadrant of the coordinate plane and use it to solve problems.  Students use the familiar number line as an introduction to the idea of a coordinate, and they construct two perpendicular number lines to create a coordinate system on the plane.  Students see that just as points on the line can be located by their distance from 0, the plane’s coordinate system can be used to locate and plot points using two coordinates.  They then use the coordinate system to explore relationships between points, ordered pairs, patterns, lines and, more abstractly, the rules that generate them.  This study culminates in an exploration of the coordinate plane in real world applications.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

El módulo 7 comienza con el trabajo relacionado con el teorema de Pitágoras y los triángulos rectos. Antes de que se presenten las lecciones de este módulo a los estudiantes, es importante que las lecciones en los módulos 2 y 3 sean relacionadas con el teorema de Pitágoras se imparten (M2: Lecciones 15 y 16, M3: Lecciones 13 y 14). En los módulos 2 y 3, los estudiantes usaron el teorema de Pitágoras para determinar la longitud desconocida de un triángulo derecho. En los casos en que la longitud lateral era un entero, los estudiantes calcularon la longitud. Cuando la longitud lateral no era un entero, los estudiantes dejaron la respuesta en forma de x2 = c, donde C no era un número cuadrado perfecto. Esas soluciones se revisan y son la motivación para aprender sobre las raíces cuadradas y los números irracionales en general.

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English Description:
Module 7 begins with work related to the Pythagorean Theorem and right triangles.  Before the lessons of this module are presented to students, it is important that the lessons in Modules 2 and 3 related to the Pythagorean Theorem are taught (M2:  Lessons 15 and 16, M3:  Lessons 13 and 14).  In Modules 2 and 3, students used the Pythagorean Theorem to determine the unknown length of a right triangle.  In cases where the side length was an integer, students computed the length.  When the side length was not an integer, students left the answer in the form of x2=c, where c was not a perfect square number.  Those solutions are revisited and are the motivation for learning about square roots and irrational numbers in general.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

En el módulo 5, los estudiantes consideran parte de las relaciones completas a través de una lente geométrica. El módulo se abre con estudiantes que identifican las partes definidas, o atributos, de formas dos y tridimensionales, basándose en sus experiencias de jardín de infantes de clasificación, análisis, comparación y creación de varias formas y objetos de dos y tridimensionales. Los estudiantes combinan formas para crear un nuevo todo: una forma compuesta. También relacionan las figuras geométricas con partes iguales y nombran las partes como mitades y cuartos. El módulo se cierra con estudiantes que aplican su comprensión de las mitades para decir tiempo a la hora y media hora.

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English Description:
In Module 5, students consider part–whole relationships through a geometric lens. The module opens with students identifying the defining parts, or attributes, of two- and three-dimensional shapes, building on their kindergarten experiences of sorting, analyzing, comparing, and creating various two- and three-dimensional shapes and objects. Students combine shapes to create a new whole: a composite shape. They also relate geometric figures to equal parts and name the parts as halves and fourths. The module closes with students applying their understanding of halves to tell time to the hour and half hour.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

El módulo 1 incorpora cambios críticos en la geometría según lo descrito por el núcleo común. El corazón del módulo es el estudio de las transformaciones y el papel que juegan las transformaciones para definir la congruencia. El tema de las transformaciones se introduce de manera principalmente experiencial en el grado 8 y se formaliza en el grado 10 con el uso de un lenguaje preciso. La necesidad de un uso claro del lenguaje se enfatiza a través del vocabulario, el proceso de escribir pasos para realizar construcciones y, en última instancia, como parte del proceso de escritura de prueba.

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English Description:
Module 1 embodies critical changes in Geometry as outlined by the Common Core. The heart of the module is the study of transformations and the role transformations play in defining congruence. The topic of transformations is introduced in a primarily experiential manner in Grade 8 and is formalized in Grade 10 with the use of precise language. The need for clear use of language is emphasized through vocabulary, the process of writing steps to perform constructions, and ultimately as part of the proof-writing process.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

Así como se utilizan movimientos rígidos para definir la congruencia en el Módulo 1, se agregan dilataciones para definir la similitud en el Módulo 2. Para poder discutir la similitud, los estudiantes primero deben comprender claramente cómo se comportan las dilataciones. Esto se hace en dos partes, al estudiar cómo las dilataciones producen dibujos de escala y razonando por qué las propiedades de las dilataciones deben ser ciertas. Una vez que las dilataciones se establecen claramente, se definen transformaciones de similitud y se examinan las relaciones de longitud y ángulo, lo que produce criterios de similitud triangular. Sigue una mirada profunda a la similitud dentro de los triángulos rectos, y finalmente el módulo termina con un estudio de trigonometría del triángulo recto.

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English Description:
Just as rigid motions are used to define congruence in Module 1, so dilations are added to define similarity in Module 2.  To be able to discuss similarity, students must first have a clear understanding of how dilations behave.  This is done in two parts, by studying how dilations yield scale drawings and reasoning why the properties of dilations must be true. Once dilations are clearly established, similarity transformations are defined and length and angle relationships are examined, yielding triangle similarity criteria.  An in-depth look at similarity within right triangles follows, and finally the module ends with a study of right triangle trigonometry.

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El módulo 3, que se extiende a tres dimensiones, se basa en la comprensión de los estudiantes de la congruencia en el módulo 1 y la similitud en el módulo 2 para probar fórmulas de volumen para sólidos. Los materiales estudiantiles consisten en las páginas del estudiante para cada lección en el módulo 3. Los materiales listos para la copia son una colección de las evaluaciones del módulo, boletos de salida de la lección y ejercicios de fluidez de los materiales del maestro.

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English Description:
Module 3, Extending to Three Dimensions, builds on students’ understanding of congruence in Module 1 and similarity in Module 2 to prove volume formulas for solids. The student materials consist of the student pages for each lesson in Module 3. The copy ready materials are a collection of the module assessments, lesson exit tickets and fluency exercises from the teacher materials.

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En este módulo, los estudiantes exploran y experimentan la utilidad de analizar los desafíos de álgebra y geometría a través del marco de las coordenadas. El módulo se abre con un desafío de modelado, uno que vuelve a ocurrir en las lecciones, para usar la geometría de coordenadas para programar el movimiento de un robot que está vinculado dentro de una cierta región poligonal del avión en el que se encuentra. Para establecer el escenario para un trabajo complejo en geometría analítica (coordenadas de cálculo de puntos de intersección de líneas y segmentos de línea o las coordenadas de puntos que dividen segmentos dados en relaciones de longitud específicas, etc.), los estudiantes describirán la región a través de sistemas de algebraico desigualdades y trabajo para restringir el movimiento del robot a lo largo de los segmentos de línea dentro de la región.

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English Description:
In this module, students explore and experience the utility of analyzing algebra and geometry challenges through the framework of coordinates. The module opens with a modeling challenge, one that reoccurs throughout the lessons, to use coordinate geometry to program the motion of a robot that is bound within a certain polygonal region of the plane—the room in which it sits. To set the stage for complex work in analytic geometry (computing coordinates of points of intersection of lines and line segments or the coordinates of points that divide given segments in specific length ratios, and so on), students will describe the region via systems of algebraic inequalities and work to constrain the robot motion along line segments within the region.

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Este módulo reúne las ideas de similitud y congruencia y las propiedades de la longitud, el área y las construcciones geométricas estudiadas durante todo el año. También incluye las propiedades específicas de los triángulos, cuadriláteros especiales, líneas paralelas y transversales, y movimientos rígidos establecidos y construidos sobre esta historia matemática. El enfoque de este módulo está en las posibles relaciones geométricas entre un par de líneas de intersección y un círculo dibujado en la página.

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English Description:
This module brings together the ideas of similarity and congruence and the properties of length, area, and geometric constructions studied throughout the year.  It also includes the specific properties of triangles, special quadrilaterals, parallel lines and transversals, and rigid motions established and built upon throughout this mathematical story.  This module's focus is on the possible geometric relationships between a pair of intersecting lines and a circle drawn on the page.

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Este módulo final del año de 40 días ofrece a los estudiantes una práctica intensiva con problemas de palabras, así como experiencias prácticas de investigación con geometría y perímetro. El módulo comienza con la resolución de problemas de palabras de uno y dos pasos basados ​​en una variedad de temas estudiados durante todo el año, utilizando las cuatro operaciones. A continuación, los estudiantes exploran la geometría. Estudiantes Tessellate para la experiencia de la geometría de puente con el estudio del perímetro. Las parcelas de línea, familiares del Módulo 6, ayudan a los estudiantes a sacar conclusiones sobre las mediciones de perímetro y área. Los estudiantes resuelven problemas de palabras que involucran área y perímetro utilizando las cuatro operaciones. El módulo concluye con un conjunto de lecciones atractivas que revisan brevemente los conceptos fundamentales de grado 3 de fracciones, multiplicación y división.

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English Description:
This 40-day final module of the year offers students intensive practice with word problems, as well as hands-on investigation experiences with geometry and perimeter.  The module begins with solving one- and two-step word problems based on a variety of topics studied throughout the year, using all four operations.  Next students explore geometry.  Students tessellate to bridge geometry experience with the study of perimeter.  Line plots, familiar from Module 6, help students draw conclusions about perimeter and area measurements.  Students solve word problems involving area and perimeter using all four operations.  The module concludes with a set of engaging lessons that briefly review the fundamental Grade 3 concepts of fractions, multiplication, and division.

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En el primer tema de este módulo de 15 días, los estudiantes aprenden el concepto de una función y por qué las funciones son necesarias para describir conceptos geométricos y ocurrencias en la vida cotidiana. Una vez que se proporciona una definición formal de una función, los estudiantes consideran funciones de tarifas discretas y continuas y comprenden la diferencia entre los dos. Los estudiantes aplican su conocimiento de las ecuaciones lineales y sus gráficos del módulo 4 a los gráficos de funciones lineales. Los estudiantes inspeccionan la tasa de cambio de funciones lineales y concluyen que la tasa de cambio es la pendiente de la gráfica de una línea. Aprenden a interpretar la ecuación y = mx+b como definir una función lineal cuyo gráfico es una línea. Los estudiantes comparan funciones lineales y sus gráficos y también obtienen experiencia con funciones no lineales. En el segundo y último tema de este módulo, los estudiantes extienden lo que aprendieron en el grado 7 sobre cómo resolver los problemas del mundo real y las matemáticas relacionadas con el volumen de sólidos simples para incluir problemas que requieren las fórmulas para conos, cilindros y esferas.

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English Description:
In the first topic of this 15 day module, students learn the concept of a function and why functions are necessary for describing geometric concepts and occurrences in everyday life.  Once a formal definition of a function is provided, students then consider functions of discrete and continuous rates and understand the difference between the two.  Students apply their knowledge of linear equations and their graphs from Module 4 to graphs of linear functions.  Students inspect the rate of change of linear functions and conclude that the rate of change is the slope of the graph of a line.  They learn to interpret the equation y=mx+b as defining a linear function whose graph is a line.  Students compare linear functions and their graphs and gain experience with non-linear functions as well.  In the second and final topic of this module, students extend what they learned in Grade 7 about how to solve real-world and mathematical problems related to volume from simple solids to include problems that require the formulas for cones, cylinders, and spheres.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

El módulo 2 explora formas bidimensionales y tridimensionales. Los estudiantes aprenden sobre formas planas y sólidas de forma independiente, así como cómo están relacionadas entre sí y con formas en su entorno. Los estudiantes comienzan a usar palabras de posición cuando se refieren y se mueven formas. Los estudiantes aprenden a usar sus palabras para distinguir entre ejemplos y no exámenes de formas planas y sólidas.

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English Description:
Module 2 explores two-dimensional and three-dimensional shapes.  Students learn about flat and solid shapes independently as well as how they are related to each other and to shapes in their environment.  Students begin to use position words when referring to and moving shapes.  Students learn to use their words to distinguish between examples and non-examples of flat and solid shapes.

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(Nota: Esta es una traducción de un recurso educativo abierto creado por el Departamento de Educación del Estado de Nueva York (NYSED) como parte del proyecto "EngageNY" en 2013. Aunque el recurso real fue traducido por personas, la siguiente descripción se tradujo del inglés original usando Google Translate para ayudar a los usuarios potenciales a decidir si se adapta a sus necesidades y puede contener errores gramaticales o lingüísticos. La descripción original en inglés también se proporciona a continuación.)

El jardín de infantes llega a su fin con otra oportunidad para que los estudiantes exploren la geometría en el módulo 6. Durante todo el año, los estudiantes han creado una comprensión intuitiva de las figuras de dos y tridimensionales mediante el examen de ejemplos, variantes y no exámenes. Han utilizado la geometría como contexto para explorar números, así como comparar atributos y cantidades. Para concluir el año, los estudiantes desarrollan aún más sus habilidades de razonamiento espacial y comienzan a sentar las bases para comprender el área a través de la composición de figuras geométricas.

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English Description:
Kindergarten comes to a close with another opportunity for students to explore geometry in Module 6. Throughout the year, students have built an intuitive understanding of two- and three-dimensional figures by examining exemplars, variants, and non-examples. They have used geometry as a context for exploring numerals as well as comparing attributes and quantities. To wrap up the year, students further develop their spatial reasoning skills and begin laying the groundwork for an understanding of area through composition of geometric figures.

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The purpose of this task is for students to relate addition and subtraction problems to money and to situations and goals related to saving money.

In this lesson, students will learn that math is important in navigation and engineering. Ancient land and sea navigators started with the most basic of navigation equations (Speed x Time = Distance). Today, navigational satellites use equations that take into account the relative effects of space and time. However, even these high-tech wonders cannot be built without pure and simple math concepts basic geometry and trigonometry that have been used for thousands of years. In this lesson, these basic concepts are discussed and illustrated in the associated activities.

This task applies geometric concepts, namely properties of tangents to circles and of right triangles, in a modeling situation. The key geometric point in this task is to recognize that the line of sight from the mountain top towards the horizon is tangent to the earth. We can then use a right triangle where one leg is tangent to a circle and the other leg is the radius of the circle to investigate this situation.

Do art and math have anything in common? How do artists and architects use math to create their works? In these lessons, students will explore the intersection of math and art in the works of two artists and one architect for whom mathematical concepts (lines, angles, two-dimensional shapes and three-dimensional polyhedra, fractions, ratios, and permutations) and geometric forms were fundamental.

An interactive applet and associated web page that demonstrate obtuse angles (those between 90 and 180 deg). The applet presents an angle (initially obtuse) that the user can adjust by dragging the end points of the line segments forming the angle. As it changes it shows the angle measure and a message that indicate which type of angle it is. There a software 'detents' that make it easy capture exact angles such as 90 degrees and 180 degrees The message and angle measures can be turned off to facilitate classroom discussion. The text on the page has links to other pages defining each angle type in depth. Applet can be enlarged to full screen size for use with a classroom projector. This resource is a component of the Math Open Reference Interactive Geometry textbook project at http://www.mathopenref.com.

The lesson begins by introducing Olympics as the unit theme. The purpose of this lesson is to introduce students to the techniques of engineering problem solving. Specific techniques covered in the lesson include brainstorming and the engineering design process. The importance of thinking out of the box is also stressed to show that while some tasks seem impossible, they can be done. This introduction includes a discussion of the engineering required to build grand, often complex, Olympic event centers.

Student groups work with manipulatives—pencils and trays—to maximize various quantities of a system. They work through three linear optimization problems, each with different constraints. After arriving at a solution, they construct mathematical arguments for why their solutions are the best ones before attempting to maximize a different quantity. To conclude, students think of real-world and engineering space optimization examples—a frequently encountered situation in which the limitation is the amount of space available. It is suggested that students conduct this activity before the associated lesson, Linear Programming, although either order is acceptable.